Zemax 理论基础

Zemax理论基础

标准面公式

\begin{align*}z=\frac{cr^2}{1+\sqrt{1-(1+k)c^2r^2}}\end{align*}

其中 $c$ 是曲率， $k$ 是圆锥系数， $z$ 是弧矢高度， $r$ 是径向距离。

对于一个长轴短轴分别为 $a$ 和 $b$ 椭圆而言， $c$ 和 $k$ 与椭圆偏心率有如下关系：
\begin{align*}&\frac{1}{c}=R=\pm\frac{b^2}{a} \\&k=-\epsilon^2=-\left[ \frac{a^2-b^2}{a^2}\right] \end{align*}
其中 $R$ 为曲率半径， $\epsilon$ 为椭圆偏心率。

对于不同的二次型曲线，可以根据圆锥系数 $k$ 或者偏心率 $\epsilon$ 进行划分：
\begin{align*}\left\{\begin{matrix}\text{圆：}&k=0 \\\text{椭圆：}&-1

\begin{align*}\left\{\begin{matrix}\text{圆：}&\epsilon=0 \\\text{椭圆：}&0<\epsilon<1\\\text{抛物线：}&\epsilon=1\\\text{双曲线：}&1<\epsilon<\infty \end{matrix}\right.\end{align*}

光焦度

根据近轴光学一阶近似，焦距 $f$ 和光焦度 $\phi$ 满足：
\begin{align*}f=\frac{1}{\phi},\quad \phi=(n_2-n_1)c\end{align*}
其中 $c$ 是曲率，它的倒数为曲率半径 $R$
单镜片光焦度计算公式：
\begin{align*} \varphi=\varphi_1+\varphi_2-\varphi_1\varphi_2t/n \end{align*}
其中 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$ 为镜片的前后表面光焦度， $t$ 为镜片中心厚度。该公式适用于近轴光学， $t$ 为一个弱参数，对于光焦度的影响很小，因此近轴光学里存在薄透镜概念，即忽略透镜的厚度，透镜只有一个光焦度的性质。

利用光焦度确定像面位置的基本公式：
\begin{align*} \frac{n'}{z'}=\frac{n}{z}+\varphi \end{align*}

需要注意的是：

光焦度与折射率差成正比而非与折射率成正比。
平面没有光焦度（均匀介质）
曲率圆焦点在曲面右侧时， $c$ 和 $R$ 的符号为正；在左侧时为负。

F/#和NA

$\text{像方F/＃}=\frac{EFL}{EPD}$
该量为近轴量，大小取决于近轴边缘光束的角度（物方无穷远）。
数值孔径 $\text{NA}=n\sin\theta$ ，因此像方 $\text{F/＃}$ 也可以写为 $\frac{1}{2\text{NA}}$

工作 $\text{F/＃}$ 分近轴工作 $\text{F/＃}$ 和实际工作 $\text{F/＃}$ ，两者都不需要物方无穷远，但前者用的是近轴边缘光束角度，后者用的是实际边缘光束角度。

归一化视场坐标和归一化入瞳坐标

归一化视场坐标决定光束入射角度，取决于设定的视场。当最大视场角确定后，中间的视场被最大视场角归一化。

归一化入瞳坐标决定光束的入射位置，取决于入瞳处的光束坐标。当入瞳大小确定后，入瞳内的光束位置被入瞳半直径归一化。

波像差

出瞳处的理想波面减去实际波面的差值。

以近轴高斯像点为圆心，以出瞳和高斯像点的距离为半径作圆，此圆视为理想/参考波面。

该参考波面的半径可以根据中心视场主光线从高斯像面追迹至出瞳面的光程来确定。

实际波面的构成除了中心主光线，还包括边缘光线。边缘光线由于像差的缘故，并不能完全会聚至高斯像面，因此将边缘光线追迹至出瞳处参考波面的光程认为是实际光程，该光程相对中心主光线的差值为波像差。

子午面和弧矢面

子午面（Tangential）定义，yz面上的光线。

弧矢面（Sagittal）定义，xz面上的光线。

光线像差

光线像差是追迹光线在像面上的截距相对主光线截距的差值。

波前差与光线像差成正比关系：
\begin{align*}\epsilon_x=-\frac{R}{n}\frac{\delta W}{\delta x}\\ \epsilon_y=-\frac{R}{n}\frac{\delta W}{\delta y}\end{align*}

其中 $R$ 是参考球面的半径。

波前展开

\begin{align*}W(h,r,\theta)=W_{000}+W_{020}r^2+W_{111}hr\cos\theta+W_{131}hr^3\cos\theta+W_{220}h^2r^2+W_{222}h^2r^2\cos^2\theta+W_{311}h^3r\cos\theta+W_{040}r^4\end{align*}

每个项都代表一种像差，都可以用如下形式表示出来：
\begin{align*}W_{ijk}h^ir^j\cos^k\theta\end{align*}

几何参数描述如图
Wavefront Expansion

$W_{000}$ ：相位平移误差，也叫Piston误差，波前展开里的常数项，通常会被减去并忽略。在光线像差里该值为零。

$W_{111}$ ：倾斜误差。 $W=W_{111}hr\cos\theta=W_{111}hP_y$ ， $\epsilon _y=-\frac{R}{n}\frac{\delta W}{\delta n}=-\frac{R}{n}W_{111}h$ ，y方向光线像差的常数部分（像的y方向偏移），对像的品质无影响。