EOE链路信号完整性分析调研

EOE链路信号完整性分析调研

步骤回顾

• Bit-by-Bit 仿真 (AMI)：输出一个特定码型的 PAM4 波形。
• VPI 光链路：将波形作为输入，经过 E-O-E 光学链路，得到输出波形。
• 频谱分析：对输入/输出波形分别做 FFT，得到振幅和相位随频率的分布。
• 等效传递函数：对输出谱除以输入谱，得到等效的 $H(f)$。
• 导出 Touchstone：把 $H(f)$ 保存为 Touchstone 格式，作为 S 参数文件。

这种方法用在 ADS ChannelSim 里存在前提和限制

• 本质：得到的 $H(f)$ 是链路的线性频率响应，等价于“含色散和器件频响”的 S21。
  • 在 小信号条件下，这样的等效 S 参数就是有效的 LTI 模型，ADS ChannelSim 可以直接用。
  • ChannelSim 在 Bit-by-Bit 模式里只需要冲激响应/频率响应，它会自动卷积码型。
• 前提条件：
  1. 生成 S 参数的波形 码型要够长，覆盖系统带宽，避免 FFT 分辨率不足。
  2. 频率点数要足够密（否则导出的 Touchstone 精度不够，会导致 ADS 插值误差）。
  3. 确保输出输入比值时，处理好噪声和归一化（避免频率点幅度过小被数值放大）。
• 限制：
  • 用的等效 S 参数是线性近似，所以它忽略了 E-O-E 模块的非线性效应（比如调制器饱和、光电探测平方律响应等）。
  • 如果链路中存在功率相关的非线性（SPM、饱和等），用一个固定的 S 参数文件无法体现。
  • 该方法假设链路的色散累积不要过大。对于 IM/DD 系统，当 $|β₂|·L$ 或 $D·L$ 足够大，使单个符号在光纤中展宽到上百甚至上千个 UI 时，等效的电域 $S_{21}$ 在频域内会出现非常密集的振荡和深凹陷，其 IFFT 得到的冲激响应具有极长尾巴（数千 UI），对频率采样和数值误差极为敏感。此时用单一 S 参数描述整段光纤只是近似，ChannelSim 中由 h(t) 与码型卷积得到的波形，可能与全光场时域仿真（如 VPI）存在明显偏差，需要谨慎解读结果。

基于码流波形提取 E-O-E 光链路等效 S21，并用于 Bit-by-Bit 的方法

场景与前提

• 链路：E→O（小信号调制器/驱动） + 光纤（仅色散/线性损耗） + O→E（PD/TIA/ADC 线性带宽）。
• 假设：LTI（线性、时不变），无显著非线性（调制器不饱和、光纤无 Kerr 非线性、PD/TIA 不饱和）。

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步骤概要

1. 产生码流与基准输入

   • 用 AMI/TX 生成长序列 PAM4（或 PRBS），采样率 ≥ 2.5× 最高频率分量（常用 4×~8×过采样）。
   • 建议：PRBS 长度 ≥ $2^{15}-1$ 或更长，以获得更细的频率分辨率与更平坦的激励谱。

2. VPI 光链路仿真

   • 将发端电域波形送入 E-O-E 光链路，记录收端电域波形（PD/TIA 后，或 ADC 前）。
   • 确保链路工作点线性：检查功率/电压双档，确认输出与输入成比例（无压缩/夹顶）。

3. 频谱估计（输入/输出）

   • 对输入 $x[n]$、输出 $y[n]$ 统一做：去直流/去趋势 → 窗函数（如平顶窗或汉宁窗） → FFT：

     $$X[k]=\mathrm{FFT}\{x[n]\},\quad Y[k]=\mathrm{FFT}\{y[n]\}$$

   • 对齐采样率与 N 点长度，记录频率轴 $f_k=k\cdot f_s/N$。

4. 等效传递函数提取

   • 谱比法：

     $$H(f_k)=\frac{Y(f_k)}{X(f_k)}\quad(\text{对 }|X(f_k)|<\epsilon\text{ 的点丢弃或做正则化})$$

   • 相位解缠（unwrap），并可去除纯延时相位 $e^{-j2\pi f \tau_0}$ 以零对齐（便于后续 IFFT）。

5. Touchstone 导出与质量约束

   • 频率点采样均匀（线性步进），覆盖 DC…带外余量（通常 ≥ 1.2× 目标带宽）。
   • 对低频端做 DC 外推（保证 $H(0)$ 合理）；对高频端平滑衰减到 0，避免 IFFT 振铃。
   • 可做因果性/无源性检查与修正（必要时做最小相位重建或 K–K 约束）。
   • 写为 .s2p（两端口，S21=H；S11/S22 可置为近似值或测得值，若只做卷积可忽略反射）。

6. 在 ADS ChannelSim/Bit-by-Bit 中使用

   • 直接把该 S2P 放在通道位置，ChannelSim 会 IFFT → 冲激响应 $h(t)$ → 与输入比特卷积。
   • 后续添加 FFE/DFE/CTLE、时钟恢复、噪声与抖动模型，得到眼图/BER/浴盆曲线。

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数学依据（为何可行）

• LTI 条件下：

  $$Y(f)=H(f)\,X(f)\ \Rightarrow\ H(f)=\frac{Y(f)}{X(f)}$$

  该 $H(f)$ 与激励码型无关（只要激励覆盖频带），是系统“固有频响”。

• ChannelSim 的 bit-by-bit 第一原则：用冲激响应表征通道，卷积恢复任意码型波形。$H(f)$ 经 IFFT 即为该冲激响应。

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从物理到等效：E-O-E 的分块线性化

前提与假设（LTI 成立条件）

• 小信号 IM/DD：调制器在偏置点附近工作，调制指数很小（$|m\,x(t)|\ll1$），驱动/放大/TIA 等电路线性。
• 无光学非线性：忽略 SPM/XPM/FWM、无放大饱和等（只考虑光纤色散/色散斜率等线性效应）。
• 平方律检测线性化：光电探测器输出 $i(t)=R\,|E(t)|^2$，在强载波 + 小调制下可对 $|E|^2$ 做一阶近似，忽略 $|\delta E|^2$ 二次小量。
• 时不变：器件与光纤特性不随时间漂移（偏置稳定，温度缓慢变化可忽略于一次仿真）。

满足这些条件时，电域输入 $x(t)$ 与电域输出 $y(t)$ 的关系可视为线性时不变（LTI）：

$$y(t)=(h_{\text{EOE}} * x)(t)\quad\Longleftrightarrow\quad Y(\Omega)=H_{\text{EOE}}(\Omega)\,X(\Omega)\tag{1}$$

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电→光（E→O，小信号强度调制）

令电域激励（已含电前端滤波）为 $x(t)$。在调制器偏置 $E_b$ 附近，小信号强度调制可写成：

$$E_{\text{tx}}(t) \approx E_b\,e^{j\omega_0 t}\,[1+\alpha\,x(t)]\tag{2}$$

其中 $\alpha$ 含调制效率、V$_\pi$ 等常数。这个映射对电域包络是线性的。

用 Geogebra 绘图，由于 $\omega_0$ 是载波，假设信号 $x(t)=\sin(\omega_st)$，$\omega_s$ 为信号频率，载波频率远大于信号频率，因此

可以看到载波的振幅收到信号波调制，呈现出包络形式，此时横坐标为时间。如果想看到包络随时间往前传，需要将横坐标改为空间，并在计算式里将载波的 $t$ 替换为 $t-x/v_p$，将调制波的 $t$ 替换为 $t-x/v_g$ 其中 $v_p$ 是载波的相速度，$v_g$ 是包络的群速度。

$$E(x,t)=E_b\cos(ω_0 \left(t - \frac{x}{v_p}\right)) (1 + α\sin(ω_s \left(t - \frac{x}{v_g}\right))\tag{3}$$

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光纤色散（O→O，线性相位算子）

将（3）式写为复指数形式

$$\mathcal{E}_\text{in}(x,t)=E_\text{RF}(x,t)\exp\left[j\omega_0\left(t-\frac{x}{v_p}\right)\right],\qquad E_\text{RF}(x,t)=E_b(1+\alpha\sin(\omega_s\left(t-\frac{x}{v_g}\right)))\tag{4}$$

这里光纤输入光场信号用 $\mathcal{E}_\text{in}$ 表示，基带 RF 信号用的调制器偏置 $E_b$ 附近的正弦小信号 $E_\text{RF}$ 表示，该信号以包络的形式由载波 $\omega_0$ 携带传输。将 $E_\text{RF}(x,t)$ 拓展到任意信号，频域下为 $E_\text{RF}(\Omega)$，$\Omega$ 为边带信号频率，则光场信号为 $\mathcal{E}_\text{in}(\omega)$，其中 $\omega=\omega_0+\Omega$。

无非线性时，光纤对光场是 LTI 系统：

$$\mathcal{E}_\text{out}(\omega)=\mathcal{E}_\text{in}(\omega)H(\omega)=E_\text{RF}(\omega-\omega_0)H(\omega)=E_\text{RF}(\Omega)H(\omega),\qquad H(\omega)=e^{-\alpha(\omega) L}\cdot e^{-j\beta(\omega)L}\tag{5}$$

其中 $\alpha(\omega)$ 为不同频率下单位距离的衰减系数，$\beta(\omega)$ 为不同频率下纵向传播常数，决定了不同频率光场的相位延迟。

这里我们只关心包含了色散项的 $\beta(\omega)$，对它在 $\omega_0$ 处做泰勒展开：

$$\beta(\omega)=\beta(\omega_0+\Omega)=\beta_0+\beta_1\Omega+\frac{1}{2}\beta_2\Omega^2+\frac{1}{6}\beta_3\Omega^3+...\tag{6}$$

其中 $\beta_0=\beta(\omega_0)$，$\beta_1=\frac{d\beta}{d\omega}\Big|_{\omega=\omega_0}$，$\beta_0L$ 和 $\beta_1\Omega L$ 分别代表了载波的相位延迟与群相位（RF基带相位，包络相位）的延迟。

$\beta_0L$ 描述的是包络内部振荡电场在经过光纤后产生的相位变化，$\beta_1\Omega L$ 描述的是整个包络在经过光纤后产生的相位变化（包络整体平移）。这两项对包络的形貌，也就是基带信号的时域特征无任何影响。

因此，对基带信号时域特征造成影响的第一项为 $\beta_2=\frac{d^2\beta}{d\omega^2}\Big|_{\omega=\omega_0}$ 项，也就是色散项，该项描述了边带信号中不同频率电磁波速度不同而产生的脉冲展宽与波形失真。

于是，光纤的传递函数可以写为：

$$H(\omega_0+\Omega)=e^{-\alpha(\omega) L}\cdot e^{-j\beta_0L}\cdot e^{-j\beta_1L\Omega}\cdot \underbrace{e^{-j(\frac{1}{2}\beta_2L\Omega^2+\frac{1}{6}\beta_3L\Omega^3+...)}}_{H_\text{CD}(\Omega)}\tag{7}$$

其中 $H_\text{CD}$ 为色散对应的传递函数，将（7）带入（5），光纤输出光场可表示为：

$$\mathcal{E}_\text{out}(\omega)=E_\text{RF}(\Omega)\cdot e^{-\alpha(\omega) L}\cdot e^{-j\beta_0L}\cdot e^{-j\beta_1L\Omega}\cdot H_\text{CD}(\Omega)\tag{8}$$

对 $\omega$ 做逆变换（记 $\tau=\beta_1L$ 为群时延，$H_\text{fiber}=e^{-\alpha(\omega) L}\cdot H_\text{CD}$ 为光纤传递函数）：

$$\mathcal{E}_\text{out}(t)=\frac{1}{2\pi}\int{\mathcal{E}_\text{out}(\omega)e^{j\omega t}d\omega}=e^{j\omega_0t}\cdot e^{-j\beta_0L}\cdot\frac{1}{2\pi}\int{E_\text{RF}(\Omega)\cdot H_\text{fiber}(\Omega)e^{j\Omega (t-\tau)}d\Omega}=e^{j(\omega_0t-\beta_0L)}\cdot[E_\text{RF}(t-\tau)*h_\text{fiber}(t-\tau)]\tag{9}$$

由此可见，输出光场的时域信号相当于在传输距离 $L$ 处的载波信号上添加了一个调制信号，该调制信号为基带 $E_\text{RF}$ 和光纤冲激响应 $h_\text{fiber}$ 的卷积，且存在时延 $\tau=\beta_1L$

$$E_\text{RF\_out}(t)=E_\text{RF}(t-\tau)*h_\text{fiber}(t-\tau)\tag{10}$$

因此，调制器到光纤再到输出解调的过程，整体可以由一个带时延的传递函数来表示。

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光→电（O→E，平方律检测的一阶线性化）

为了得到线性电域等效，采用强载波+小信号近似，当采用双边带调制时，发射端光场为

$$\mathcal{E}_\text{in}(t)=\mathcal{E}_0e^{j\omega_0t}+E_\text{RF+}e^{j(\omega_0+\Omega)t}+E_{\text{RF}-}e^{j(\omega_0-\Omega)t},\quad(|E_{\text{RF}\pm}|\ll|\mathcal{E}_0|)\tag{11}$$

其中 $\mathcal{E}_0$ 为载波光场的场强，载波光强 $I_0$ 与 $\mathcal{E}_0$ 的关系为 $I_0=\frac{1}{2}c\epsilon_0|\mathcal{E}_0|^2$

经过光纤后，得到频域上的输出光场为

$$\mathcal{E}_\text{out}(\omega)=\mathcal{E}_0H(\omega_0)+E_\text{RF+}H(\omega_0+\Omega)+E_{\text{RF}-}H(\omega_0-\Omega)\tag{12}$$

根据平方律检测公式：

$$i(t)=R\cdot|\mathcal{E}_\text{out}(t)|^2=R\cdot \mathcal{E}_\text{out}(t)\cdot \mathcal{E}^*_\text{out}(t),\qquad R=\frac{I_\text{ph}}{P_\text{opt}}=\eta\frac{q}{h\nu}\tag{13}$$

其中 $R$ 为光电二极管响应度，表示单位入射光功率能产生多少光电流，$\eta$ 为量子效率，$q$ 为电子电荷，$h\nu$ 为单个光子能量。

将（11）带入（13），三项两两相乘，得到：

• 直流项
• 高频 $2\omega_0$ 项
• 基带/RF $\Omega$ 项

由于光电二极管本身就带有低通滤波的特性，高频 $2\omega_0$ 项被滤除，外加后续电路直流滤波，因此抽取基带/RF $\Omega$ 项为

$$I_{\Omega}=R\cdot\{E_{\text{RF}+}H(\omega_0+\Omega)\mathcal{E}_0^*H^*(\omega_0)+\mathcal{E}_0H(\omega_0)E^*_{\text{RF}-}H^*(\omega_0-\Omega)\}\tag{14}$$

（14）中第一项=上边带$\times$载波拍频；第二项=载波$\times$下边带拍频

若另 $E_{\text{RF}+}=E_{\text{RF}-}=\frac{m\mathcal{E}_0}{2}$ （常见AM模式，$m$ 为调制度），并把与 $\mathcal{E}_0$ 有关的比例常数合并，则

$$I_\Omega=\frac{m}{2}|\mathcal{E}_0|^2R\cdot\{H(\omega_0+\Omega)H^*(\omega_0)+H(\omega_0)H^*(\omega_0-\Omega)\}=\frac{m}{2}|\mathcal{E}_0|^2R\cdot\{H_+H_0^*+H_0H_{-}^*\}\tag{15}$$

因此拍频后电域的 $\Omega$ 分量来自两条路径（上边带$\times$载波与载波$\times$下边带）的相干叠加。对载波做归一化 $\widetilde{H}(\omega)\equiv H(\omega)/H(\omega_0)$

$$I_\Omega=\frac{m}{2}|\mathcal{E}_0|^2R\cdot|H_0|^2\cdot\{\frac{H_+}{H_0}+\left(\frac{H_{-}}{H_0}\right)^*\}=\frac{mR}{2}|\mathcal{E}_0|^2|H_0|^2\cdot\{\widetilde{H}(\omega_0+\Omega)+\widetilde{H}^*(\omega_0-\Omega)\}\tag{16}$$

（16）即为 IM/DD 等效传递函数。根据（7）得到:

$$\begin{aligned} H(\omega_0)&=e^{-\alpha(\omega) L}\cdot e^{-j\beta_0L}\\ \widetilde{H}(\omega_0+\Omega)&=e^{-j(\beta_1L\Omega+\frac{1}{6}\beta_3L\Omega^3+...)}\cdot e^{-(\frac{1}{2}\beta_2L\Omega^2+\frac{1}{24}\beta_4L\Omega^4+...)}\\ \widetilde{H}^*(\omega_0-\Omega)&=e^{-j(\beta_1L\Omega+\frac{1}{6}\beta_3L\Omega^3+...)}\cdot e^{+(\frac{1}{2}\beta_2L\Omega^2+\frac{1}{24}\beta_4L\Omega^4+...)} \end{aligned}\tag{17}$$

将（17）带入（16），可以得到完整的 IM/DD 等效传递函数 $H_\text{IM/DD}(\Omega)$：

$$\boxed{ H_{\text{IM/DD}}(\Omega)=\frac{2mI_0R}{c\epsilon_0}e^{-2\alpha L}\cdot \exp\Big[-j\sum_{k\ge 0}\frac{\beta_{2k+1} L}{(2k+1)!}\Omega^{2k+1}\Big] \cos\Big(\sum_{k\ge 1}\frac{\beta_{2k} L}{(2k)!}\Omega^{2k}\Big) }\tag{18}$$

其中 $m$ 为调制度，$I_0$ 为载波光强，$R$ 为光电探测器响应度，$c$ 为真空光速，$\epsilon_0$ 为真空介电常数，$2\alpha$ 为光纤在频率 $\omega_0+\Omega$ 的衰减系数，$L$ 为光纤长度。

仅考虑 $\beta$ 泰勒展开的前三项（到群速度色散为止），等效传递函数可近似为：

$$H_\text{IM/DD}(\Omega)\approx\frac{2mI_0R}{c\epsilon_0}e^{-2\alpha L-j\beta_1L\Omega}\cdot\cos\Big(\frac{1}{2}\beta_2L\Omega^2\Big)\tag{19}$$

从（19）可以看出，当

$$\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{2}\beta_2L\Omega^2&=\Big(n+\frac{1}{2}\Big)\pi,\quad n=0,1,2,...\\ D&=-\frac{2\pi c}{\lambda^2}\beta_2 \end{aligned} \right. \qquad\Rightarrow\qquad\Omega_n=\sqrt{\frac{(2n+1)\pi}{|\beta_2|L}}=2\pi\sqrt{\frac{(2n+1)c}{2|D|\lambda^2L}}\tag{20}$$

时，两条拍频路径 $\omega_0$ 和 $\omega_0\pm\Omega$ 在探测器处完全相干相消，造成功率凹槽，也就是 Power Fading 现象

综上，整个E-O-E的等效传递函数可以表示为

$$H_{\text{EOE}}(\Omega)= H_{\text{drv}}(\Omega)H_{\text{mod}}(\Omega)H_{\text{IM/DD}}(\Omega)H_{\text{PD}}(\Omega)H_{\text{TIA}}(\Omega)\tag{21}$$

与电 SI 的链路级线性级联形式完全一致。

若其中添加波分复用器 WDM，边缘耦合器 EC 和 偏振分束旋转器 PSR ，由于都为无源线性器件，同样能以传递函数的形式表示

$$H_{\text{EOE}}(\Omega)= H_{\text{drv}}(\Omega)H_{\text{mod}}(\Omega)H_{\text{Mux}}(\Omega)H_{\text{EC}}(\Omega)H_{\text{PSR}}(\Omega)H_{\text{Demux}}(\Omega)H_{\text{IM/DD}}(\Omega)H_{\text{PD}}(\Omega)H_{\text{TIA}}(\Omega)\tag{22}$$

E-O-E 电域线性等效局限与限制

除了前面提到的前提与假设对 E-O-E 电域线性等效的限制外，还存在一些问题会影响数值计算时等效产生的波形结果。（注：电域线性等效依然成立，但数值计算波形随色散长度增加逐渐发生偏离）

由平方律检测与色散长度引起的相位剧烈振荡

即便光纤传输完全线性（$β_2$ 以外所有高阶色散 $β_3$、$β_4$、$β_5$ 与所有非线性项均为 0），IM/DD 的等效电域传递函数仍然会因为色散二次相位带来的高频振荡而在频域呈现不平滑、非带限的结构。由此造成频域数值计算时（bit-by-bit）波形随色散长度与时域计算的波形结果产生偏差。

这里该如何理解？明明是线性模型，为什么用一个等效 $S$ 参数依然无法准确将波形还原出来？

因为随着色散距离的增加，描绘等效电域传递函数所需的精度也会越来越高，色散二次相位随色散距离增加而产生剧烈振荡，导致数值计算出来的等效 $S$ 参数精度不够用了。因此执行 IFFT 得到 $h(t)$ 时必然出现时域泄漏与数值振荡，使得时域冲激响应极长且难以收敛，最终导致 $h(t)*x(t)$ 的卷积波形与全光场时域仿真结果出现偏差。这不是系统物理非线性导致的，而是“平方律 + 连续频谱 + 色散二次相位”三者共同造成的 数值不可平滑性（lack of smoothness）。

现在来证明为什么随色散长度增加而等效 $S$ 参数不可平滑。

前面推导时我们仅用了三个单点频率的输出光场，并且我们认为光电二极管本身就带有低通滤波的特性，高频 $2\omega_0$ 项被滤除，外加后续电路直流滤波，因此只抽取基带/RF $\Omega$ 项。但实际的光场是一个连续的频带。

令慢变包络为 $A(z,t)$，光载波角频率为 $\omega_0$：

$$E_{\text{real}}(z,t) = \Re\{A(z,t)\,e^{j\omega_0 t}\}\tag{23}$$

在频域（基带频率 $\Omega=\omega-\omega_0$）：

$$A(z,\Omega) = \mathcal{F}\{A(z,t)\}\tag{24}$$

考虑只包含二阶色散的线性光纤（无非线性、无损耗）：

$$H_{\text{fib}}(\Omega) = \exp\!\left(-j\frac{\beta_2 L}{2}\Omega^2\right)\tag{25}$$

于是长度为 $L$ 的光纤对包络的作用是线性相位滤波：

$$A_L(\Omega) = A_0(\Omega)\,H_{\text{fib}}(\Omega)\tag{26}$$

PD 输出电流（慢变部分）只取包络：

$$i(t) = R\,|A_L(t)|^2\tag{27}$$

其中

$$A_L(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}A_L(\Omega)\,e^{j\Omega t}\,d\Omega = \frac{1}{2\pi}\int A_0(\Omega)H_{\text{fib}}(\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega\tag{28}$$

于是

$$\begin{aligned} i(t) &=R\,A_L(t)A_L^*(t)\\ &=R\left[\frac{1}{2\pi}\int A_0(\Omega_1)H_{\text{fib}}(\Omega_1)e^{j\Omega_1 t}d\Omega_1\right] \left[\frac{1}{2\pi}\int A_0^*(\Omega_2)H_{\text{fib}}^*(\Omega_2)e^{-j\Omega_2 t}d\Omega_2\right]\\ &=\frac{R}{(2\pi)^2}\iint A_0(\Omega_1)A_0^*(\Omega_2)\, H_{\text{fib}}(\Omega_1)H_{\text{fib}}^*(\Omega_2)\, e^{j(\Omega_1-\Omega_2)t}\,d\Omega_1d\Omega_2 \end{aligned} \tag{29}$$

现在对 $i(t)$ 做傅里叶变换，得到电流频谱 $I(\Omega)$：

$$I(\Omega) = \int i(t)e^{-j\Omega t} dt\tag{30}$$

把（29）代入（30）：

$$\begin{aligned} I(\Omega) &=\frac{R}{(2\pi)^2}\iint A_0(\Omega_1)A_0^*(\Omega_2)\, H_{\text{fib}}(\Omega_1)H_{\text{fib}}^*(\Omega_2)\, \int e^{j(\Omega_1-\Omega_2-\Omega)t}dt\ d\Omega_1d\Omega_2 \\ &=\frac{R}{2\pi}\iint A_0(\Omega_1)A_0^*(\Omega_2) H_{\text{fib}}(\Omega_1)H_{\text{fib}}^*(\Omega_2)\, \delta(\Omega_1-\Omega_2-\Omega)\ d\Omega_1d\Omega_2 \end{aligned}\tag{31}$$

由 δ 函数约束 $\Omega_2=\Omega_1-\Omega$，得到非常关键的卷积形式：

$$\boxed{ I(\Omega) =\frac{R}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} A_0(\Omega_1)A_0^*(\Omega_1-\Omega)\, H_{\text{fib}}(\Omega_1)H_{\text{fib}}^*(\Omega_1-\Omega)\, d\Omega_1 } \tag{32}$$

色散通过 $H_{\text{fib}}(\Omega_1)H_{\text{fib}}^*(\Omega_1-\Omega)$ 出现在（32）中：

$$H_{\text{fib}}(\Omega_1)H_{\text{fib}}^*(\Omega_1-\Omega) =\exp\left\{-j\frac{\beta_2 L}{2} \Big[\Omega_1^2-(\Omega_1-\Omega)^2\Big]\right\} =\exp\left\{-j\frac{\beta_2 L}{2}(2\Omega_1\Omega-\Omega^2)\right\}\tag{33}$$

由此可见，电流在频率 $\Omega$ 处的分量，不是来自某一个单一光频，而是来自所有成对的光场频率 $\Omega_1$ 与 $\Omega_1-\Omega$ 的“拍频”（差频）。相位因子随 $\Omega_1$ 和 $\Omega$ 高度耦合，L 越大，相位快速振荡越厉害 → 积分结果（即基带电流）随 L 和 Ω 非常敏感。

因此，$L$ 越大，微弱的 $\Omega$ 改变使得光纤传递函数的相位产生巨大跨越。再加上 $\Omega$ 处的频响幅度来自所有成对的光场频率 $\Omega_1$ 与 $\Omega_1-\Omega$ 的“拍频”（差频），无数对相位不同复指数 $e^{-j\phi}$ 叠加，即便幅值都是1，最后的结果也是剧烈振荡的，等效 $S$ 参数的幅频响应会出现大量尖锐的振荡和“毛刺”结构，脉冲响应收敛困难出现误差。