3D 球谐函数可视化

网上看到很多画球谐函数的文章，估计文章作者本人都没理解画的是什么。为什么有的球谐函数图片不是一个球面分布？为什么球面上有各种颜色分布？我下面会针对各种疑惑进行解答。

首先要理解球谐函数是什么

球谐函数是一个函数，这个函数有两个自变量，分别是极角 θ\theta 和方位角 ϕ\phi。有的讲球谐函数的书里会讲这两个变量合为一个变量 Ω\Omega，这个是立体角，可以理解为沿着 z 轴方向的向量以原点为旋转中心，先往 z 轴的反方向画个 θ\theta 的扇形，这个扇形再以 z 轴为旋转轴，以 xy 平面为参考面逆时针旋转 ϕ\phi。

Solid Angle

这里我将球坐标系中的 r 设为了 1。实际上球谐函数是没有 r 这个变量的，只是关于立体角的函数，但为了让人能够理解球谐函数，就用一整个球面，也就是完整的立体角（0∼4π0\sim4\pi，球表面积 4πr24\pi r^2 比 r2r^2）来给出球谐函数自变量的取值范围。

知道了自变量和自变量的取值范围，球谐函数的值就是因变量，也就是结果。这个结果有好几种表达方式：

  1. 在球面上用不同的颜色表示球谐函数值的大小；
  2. 在球面上用相对单位 r 的偏差值的 Δr 来表示球谐函数值的大小；
  3. 不用球面了，直接用球谐函数值的绝对值表示 r，在给定的 θ\theta 和 ϕ\phi 下根据 ∣Ylm∣|Y_l^m| 作为 r 来画立体图。用 YlmY_l^m 的实部给表面上色，值越大越红温，越小越蓝温。

球谐函数的表示方法

球谐函数的表达式大家都知道

Ylm(θ,ϕ)=Nl,m⋅Plm(cos⁡θ)⋅eimϕ Y_l^m(\theta,\phi)=N_{l,m}\cdot P_l^m(\cos\theta)\cdot e^{im\phi}

其中 Nl,mN_{l,m} 是归一化常数，Plm(cos⁡θ)P_l^m(\cos\theta) 是连带勒让德函数，θ\theta 是极角，ϕ\phi 是方位角。

虽然连带勒让德函数是实函数（各种 sin⁡θ\sin\theta 和 cos⁡θ\cos\theta 的组合），但方位角函数是复指数，存在虚数，在实坐标系下你画不出来啊…

由于化学、量子力学里常用的是 实球谐函数（因为轨道是实的）。为了让函数变成实数，需要把 m=±1m=\pm1 的复球谐函数做如下线性组合：

px∝12(Y1,+1−Y1,−1) p_x \propto \frac{1}{\sqrt{2}}(Y_{1,+1}-Y_{1,-1})

配上系数 1/21/\sqrt{2} 是为了做归一化，所以维基百科的表格中，极坐标表达式比简单乘积多了一个 1/21/\sqrt{2}。

因此这里我们 关注的重点是球谐函数 YlmY_l^m 的实部和它的大小

球谐函数绘图分析

球谐函数可视化工具我已经推送到了 github 仓库里，仓库地址 https://github.com/Loli-Eternally/Spherical-Harmonics-Viewer.git

我们对各阶球谐函数的示意图进行分析

多个球谐函数对比

这里只有 Y00Y_0^0 是一个球，因为它的结果是一个常数，所以 r 为常数，就是一个球。

其余的结果有的是哑铃状，有的是甜甜圈状，这是因为确定的 θ\theta 和 ϕ\phi 下，YlmY_l^m 的绝对值，也就是 r 的大小一直在变。所以你看到的各种奇形怪状的球谐函数图，都是 r=∣Ylm∣r=|Y_l^m| 或 r=∣Ylm∣/max⁡∣Ylm∣r=|Y_l^m|/\max|Y_l^m|（用自己的最大值归一化了）的结果。

为了表示实球谐函数的结果，也就是实数那部分的情况，这里就用 colormap 来表现数值大小了，数值越高越红温，具体实现方式看仓库代码。

总结

  1. 球谐函数可以看成二元函数（θ\theta，ϕ\phi），也可以看成一元函数（立体角 Ω\Omega）；
  2. 如果球谐函数绘图都是一个球，那么球面上的颜色代表的是球谐函数的实数大小或者绝对值大小（具体看绘图定义）；
  3. 如果球谐函数绘图是各种奇形怪状，那么立体表面距离原点的长度为球谐函数绝对值，如果表面还有颜色，那就代表球谐函数的实部大小：越红温值越大。