亥姆霍兹方程格林函数的推导与统一

亥姆霍兹方程格林函数的推导与统一

前面已经推导出了球坐标下亥姆霍兹方程完整的形式解

$$\begin{aligned} G(\mathbf r,\mathbf r') &= ik \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l j_l(kr_<)\,h_l^{(1)}(kr_>)\, Y_l^m(\theta,\phi) Y_l^{m*}(\theta',\phi'),\\ &=\sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l g_l(r,r')\, Y_l^m(\theta,\phi) Y_l^{m*}(\theta',\phi'). \end{aligned} \tag{1}$$

其中，

• 球谐函数控制角度分布；
• 球贝塞尔/汉克尔函数控制径向传播；
• 格林函数是所有本征模态的叠加；
• $k\to0$ 时退化为静电势格林函数 $1/4\pi r$；
• $r_< = \min(r,r')$，$r_> = \max(r,r')$；
• $g_l(r,r') = ik\,j_l(k r_<)\,h_l^{(1)}(k r_>)$ 为径向格林函数；
• $Y_l^m(\theta,\phi)=N_{l,m}\cdot P_l^m(\cos\theta)\cdot e^{im\phi}$ 为球谐函数，其中 $N_{l,m}=(-1)^m\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}$ 为归一化系数，$P_l^m(\cos\theta)\cdot e^{im\phi}$ 为方位量子数 $m$ 的连带勒让德多项式与方位角复指数的角向函数。

上面是不考虑球对称性下的，即考虑边界情况时，完整的亥姆霍兹方程的格林函数解。

3D 情形亥姆霍兹方程的格林函数

当我们只考虑 自由空间、无边界 的 3D 情形时，可以直接求出球面波解，下面是求解过程

把问题转成相对坐标

由于系统是平移不变的，可以只考虑 $\mathbf r' = 0$，即：

$$(\nabla^2 + k^2) G(\mathbf r) = -\delta(\mathbf r)\tag{2}$$

设 $r = |\mathbf r|$。

利用球对称性

$G$ 只依赖于 $r$，所以可以写成 $G(r)$。
在球坐标中：

$$\nabla^2 G = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dG}{dr}\right)\tag{3}$$

于是方程变成：

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{dG}{dr}\right) + k^2 G = -\delta(\mathbf r)\tag{4}$$

先求解右边=0的齐次方程

对 $r>0$，右边 δ=0：

$$\frac{d^2 (rG)}{dr^2} + k^2 (rG) = 0\tag{5}$$

设 $u = rG$，解为：

$$u(r) = A e^{ikr} + B e^{-ikr}\tag{6}$$

所以：

$$G(r) = \frac{A e^{ikr} + B e^{-ikr}}{r}\tag{7}$$

确定常数（辐射条件）

• $e^{ikr}/r$：表示向外传播的球面波；
• $e^{-ikr}/r$：表示向内传播的球面波。

物理上我们要出射波（源点向外发散），即满足 Sommerfeld 辐射条件：

$$\lim_{r\to\infty} r\left(\frac{\partial G}{\partial r}-ikG\right)=0\tag{8}$$

这要求 $B=0$，为什么？

球面波近似形式：

$$G(r) \sim \frac{e^{ikr}}{r}\tag{9}$$

它的径向导数是：

$$\frac{\partial G}{\partial r} \sim \left(ik - \frac{1}{r}\right)\frac{e^{ikr}}{r}\tag{10}$$

把它代入表达式：

$$r\left(\frac{\partial G}{\partial r} - ik G\right) = r \left[\left(ik - \frac{1}{r}\right)\frac{e^{ikr}}{r} - ik \frac{e^{ikr}}{r}\right] = - \frac{e^{ikr}}{r} \xrightarrow{r\to\infty} 0.\tag{11}$$

所以 $e^{ikr}/r$ 满足辐射条件。

而如果我们换成 $e^{-ikr}/r$：

$$r\left(\frac{\partial G}{\partial r} - ik G\right) = r \left[(-ik - \frac{1}{r})\frac{e^{-ikr}}{r} - ik\frac{e^{-ikr}}{r}\right] = -2ikr \frac{e^{-ikr}}{r} = -2ik e^{-ikr} \not\to 0.\tag{12}$$

它不满足条件（因为远处波是往内收的）。

因此：

$$\text{Sommerfeld 辐射条件} \Rightarrow B = 0.\tag{13}$$

于是：

$$G(r) = \frac{A e^{ikr}}{r}\tag{14}$$

确定系数 $A$

在 $r=0$ 附近，δ 函数起作用。将方程在一个以 $r=0$ 为中心的小球体 $V_\epsilon$ 内积分：

$$\int_{V_\epsilon} (\nabla^2 G + k^2 G)\, dV = -\int_{V_\epsilon} \delta(\mathbf r)\, dV = -1\tag{15}$$

对第一项用高斯定理：

$$\oint_{S_\epsilon} \frac{\partial G}{\partial n}\, dS + k^2 \int_{V_\epsilon} G\, dV = -1\tag{16}$$

当 $\epsilon \to 0$，第二项趋近 0，只剩第一项。在球面上 $r=\epsilon$，

$$\frac{\partial G}{\partial r} = A\frac{(ik\epsilon - 1)e^{ik\epsilon}}{\epsilon^2}\tag{17}$$

积分面面积 $4\pi\epsilon^2$，于是：

$$\oint_{S_\epsilon} \frac{\partial G}{\partial n}\, dS = 4\pi A(ik\epsilon - 1)e^{ik\epsilon} \to -4\pi A\tag{18}$$

匹配上式：

$$-4\pi A = -1 \Rightarrow A = \frac{1}{4\pi}\tag{19}$$

得到最终结果：

$$\boxed{G(\mathbf r, \mathbf r') = \frac{e^{ik|\mathbf r - \mathbf r'|}}{4\pi |\mathbf r - \mathbf r'|}}\tag{20}$$

这就是 3D Helmholtz 方程的自由空间格林函数。

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2D 情形亥姆霍兹方程的格林函数

设 $r = |\mathbf r - \mathbf r'|$，解的径向形式为：

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dG}{dr}\right) + k^2 G = -\delta(\mathbf r)\tag{21}$$

齐次方程的解为 Bessel 函数：

$$G(r) = A J_0(kr) + B Y_0(kr)\tag{22}$$

满足“向外辐射条件”的组合是：

$$H_0^{(1)}(kr) = J_0(kr) + iY_0(kr)\tag{23}$$

于是：

$$\boxed{G(\mathbf r, \mathbf r') = \frac{i}{4} H_0^{(1)}(k|\mathbf r - \mathbf r'|)}\tag{24}$$

这就是 2D Helmholtz 格林函数。

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1D 情形亥姆霍兹方程的格林函数

在 1D 情况下：

$$\frac{d^2 G}{dx^2} + k^2 G = -\delta(x-x')\tag{25}$$

通解为：

$$G(x,x') = \frac{i}{2k} e^{ik|x-x'|}\tag{26}$$

这一维形式可以看作是 2D、3D 格林函数的“退化版本”。

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3D 情形格林函数与完整形式解的统一

格林函数的球谐展开为：

$$G(\mathbf r,\mathbf r') =ik\sum_{l,m} j_l(kr_<)\,h_l^{(1)}(kr_>)\, Y_l^m(\Omega)Y_l^{m*}(\Omega'). \tag{27}$$

源在原点

现在令源点在原点，所以 $r'=0$，于是 $r_< = r'=0$，因此对任意 $l\ge 1$，

$$j_l(k r_<)=j_l(0)=0.\tag{28}$$

唯一存活的是：

$$j_0(0)=1.\tag{29}$$

所以（27）中的和只剩：

$$G(\mathbf r,0) =ik\; j_0(0)\; h_0^{(1)}(kr)\; Y_0^0(\Omega)\; Y_0^{0*}(0).\tag{30}$$

因为 $Y_0^0=1/\sqrt{4\pi}$，得到：

$$G(\mathbf r,0) =ik\, h_0^{(1)}(kr)\cdot\frac{1}{4\pi}.\tag{31}$$

而

$$h_0^{(1)}(x)=-i\frac{e^{ix}}{x},\tag{32}$$

所以：

$$G(\mathbf r,0)=\frac{e^{ikr}}{4\pi r}.\tag{33}$$

完全等于自由空间格林函数的标准球面波形式。

源在任意

整个问题在自由空间中是各向同性的，所以一旦你知道源在原点时两种表达一致，对任意 $\mathbf r'$ 只不过是坐标旋转和平移，两者仍然必须一致。

用球谐加法定理：

$$\sum_{m=-l}^{l}Y_l^m(\Omega)Y_l^{m*}(\Omega') =\frac{2l+1}{4\pi}P_l(\cos\gamma),\tag{34}$$

带入（27）并对 $m$ 求和

$$G(r,r′)= ik\sum_{l=0}^\infty \frac{2l+1}{4\pi} j_l(k r_<)\,h_l^{(1)}(k r_>)\,P_l(\cos\gamma). \tag{35}$$

右边显然只依赖 $r,r',\gamma$，也就是只依赖 $|\mathbf r-\mathbf r'|$，因此它必然是某个 $F(|\mathbf r-\mathbf r'|)$。

又由于在特殊情形 $\mathbf r'=0$ 时，(2) 已经等于 $e^{ikr}/(4\pi r)$，结合方程的唯一性 ⇒ 对任意 $\mathbf r'$，(2) 就是

$$G(\mathbf r,\mathbf r')=\frac{e^{ik|\mathbf r-\mathbf r'|}}{4\pi|\mathbf r-\mathbf r'|}.\tag{36}$$

总结

• 从 PDE + 边界条件 出发构造：
  分离变量 → 球谐展开 → 径向格林函数方程 → 正则内解 $j_l$、辐射外解 $h_l^{(1)}$ → 用朗斯基调常数得 $ik$ → 得到模态展开式 (1)。

• 从物理直观球面波 出发：
  已知自由空间格林函数是 $e^{ikR}/(4\pi R)$，把它投影到球谐基底，得到同样的 $g_l=ik j_l h_l^{(1)}$。因为两者满足同一方程和边界条件、又在一个特殊点上完全吻合，所以它们在整个空间上就是同一函数。

可以把

$$\frac{e^{ikR}}{4\pi R}$$

看成“位置表象”的写法，而

$$ik\sum j_l h_l^{(1)}Y_lY_l^*$$

是“角动量模态表象”的写法。
就像同一个信号在“时域”和“傅里叶域”的两种展开，一模一样，只是基底不同。

附录一些证明

2D 情形亥姆霍兹方程的具体证明过程

极坐标下写出微分方程

在以 $\mathbf r'$ 为原点的极坐标 $(\rho,\varphi)$ 中，拉普拉斯算符为

$$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial \rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}.\tag{37}$$

因为 $G$ 只依赖于 $\rho$，与角度无关（圆对称），所以

$$\frac{\partial G}{\partial \varphi}=0,\quad \frac{\partial^2 G}{\partial \varphi^2}=0.\tag{38}$$

因此，对于 $\rho\neq 0$（也就是远离点源）时，方程变成常微分方程：

$$\left[ \frac{d^2}{d\rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}+k^2 \right] G(\rho) = 0,\quad (\rho \neq 0).\tag{39}$$

解为 0 阶贝塞尔方程

把变量换成 $z=k\rho$，写成

$$\frac{d^2 G}{dz^2}+\frac{1}{z}\frac{dG}{dz}+G=0,\tag{40}$$

这就是 0 阶的贝塞尔方程。它的一般解是

$$G(\rho)=A J_0(k\rho) + B Y_0(k\rho),\tag{41}$$

其中

• $J_0$ 是 0 阶第一类贝塞尔函数，
• $Y_0$ 是 0 阶第二类贝塞尔函数。

也常用汉克尔函数写成

$$H_0^{(1)}(z)=J_0(z)+iY_0(z),\quad H_0^{(2)}(z)=J_0(z)-iY_0(z),\tag{42}$$

于是

$$G(\rho)=C H_0^{(1)}(k\rho) + D H_0^{(2)}(k\rho).$$

用辐射条件选出出射解

物理上我们要的是 出射波（向外传播） 的格林函数，即满足 Sommerfeld 辐射条件：

$$\lim_{\rho\to\infty} \sqrt{\rho}\left(\frac{\partial G}{\partial \rho}-ik G\right)=0.\tag{43}$$

利用汉克尔函数的远场渐近形式：

$$H_0^{(1)}(z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} e^{i(z-\frac{\pi}{4})},\quad H_0^{(2)}(z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} e^{-i(z-\frac{\pi}{4})},\quad (z\to\infty)\tag{44}$$

可以看到：

• $H_0^{(1)}(k\rho)$ 对应 $\sim e^{+ik\rho}/\sqrt{\rho}$，是向外传播的波；
• $H_0^{(2)}(k\rho)$ 对应 $\sim e^{-ik\rho}/\sqrt{\rho}$，是向内传播的波。

因此要选 出射波，令 $D=0$，得到

$$G(\rho) = C\, H_0^{(1)}(k\rho).\tag{45}$$

现在还差一个系数 $C$，它是靠 $\delta$ 函数条件 来确定的。

用积分确定系数

从定义方程出发：

$$(\nabla^2 + k^2) G(\rho) = -\delta(\mathbf r-\mathbf r').\tag{46}$$

取以 $\mathbf r'$ 为中心、半径为 $\varepsilon$ 的小圆盘 $D_\varepsilon$，积分两边：

$$\int_{D_\varepsilon} (\nabla^2 G + k^2 G)\, dS = -\int_{D_\varepsilon} \delta(\mathbf r-\mathbf r')\, dS = -1.\tag{47}$$

把左边拆成

$$\int_{D_\varepsilon} \nabla^2 G\, dS + k^2 \int_{D_\varepsilon} G\, dS = -1.\tag{48}$$

当 $\varepsilon \to 0$ 时，小圆盘面积 $\sim \pi\varepsilon^2$，而 $G$ 在原点附近最多是对数发散（下面会看到），所以

$$k^2 \int_{D_\varepsilon} G\, dS \xrightarrow[\varepsilon\to 0]{} 0.\tag{49}$$

于是有

$$\int_{D_\varepsilon} \nabla^2 G\, dS \xrightarrow[\varepsilon\to 0]{} -1.\tag{50}$$

再利用二维的散度定理（Green 定理）：

$$\int_{D_\varepsilon} \nabla^2 G\, dS = \oint_{C_\varepsilon} \frac{\partial G}{\partial n}\, ds,\tag{51}$$

其中 $C_\varepsilon$ 是边界圆周，$ds$ 是弧长微元；对圆来说，法向就是径向，所以 $\partial G/\partial n = \partial G/\partial \rho$，而 $ds = \varepsilon d\varphi$，总长是 $2\pi \varepsilon$。因此

$$\oint_{C_\varepsilon} \frac{\partial G}{\partial n}\, ds = 2\pi \varepsilon\,\frac{\partial G}{\partial \rho}\bigg|_{\rho=\varepsilon}.\tag{52}$$

综合得到条件：

$$\lim_{\varepsilon\to 0} 2\pi \varepsilon\,\frac{\partial G}{\partial \rho}\bigg|_{\rho=\varepsilon} = -1.\tag{53}$$

接下来需要用到 $H_0^{(1)}(z)$ 在 $z\to 0$ 的小参数展开。

小参数展开与对数型奇点

$H_0^{(1)}(z)$ 的小 $z$ 展开为（只写出对数项）：

$$H_0^{(1)}(z) \approx 1 + \frac{2i}{\pi}\left[\ln\left(\frac{z}{2}\right)+\gamma\right] + \mathcal O(z^2),\quad (z\to 0),\tag{54}$$

其中 $\gamma$ 是欧拉常数。对我们来说，最重要的是 对数项：

$$H_0^{(1)}(z) \sim \frac{2i}{\pi} \ln z + \text{(常数)}.\tag{55}$$

因此

$$G(\rho) = C\, H_0^{(1)}(k\rho) \sim C \cdot \frac{2i}{\pi} \ln (k\rho) + \text{常数},\tag{56}$$

对 $\rho$ 求导：

$$\frac{\partial G}{\partial \rho} \sim C \cdot \frac{2i}{\pi} \cdot \frac{1}{\rho},\quad (\rho\to 0).\tag{57}$$

代入刚才的积分条件：

$$2\pi \varepsilon\,\frac{\partial G}{\partial \rho}\bigg|_{\rho=\varepsilon} \sim 2\pi \varepsilon \left[ C \cdot \frac{2i}{\pi} \cdot \frac{1}{\varepsilon} \right] = 4iC.\tag{58}$$

令其等于 $-1$：

$$4iC=-1 \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{1}{4i} = \frac{i}{4}.\tag{59}$$

（因为 $1/i=-i$，所以 $-1/(4i)=i/4$）。

于是我们得到 最终的 2D 亥姆霍兹格林函数：

$$\boxed{ G(\mathbf r,\mathbf r') = G(\rho) = \frac{i}{4}\,H_0^{(1)}\!\big(k|\mathbf r-\mathbf r'|\big) }\tag{60}$$

关于第一类汉克尔函数的展开

$H_0^{(1)}(z)$ 的小 $z$ 展开怎么来的

$$H_0^{(1)}(z) \approx 1 + \frac{2i}{\pi}\left[\ln\left(\frac{z}{2}\right)+\gamma\right] + \mathcal O(z^2),\quad (z\to 0),\tag{61}$$

计算第二类贝塞尔函数的零阶表达式

一般阶的第二类贝塞尔函数定义为（$\nu$ 非整数时）：

$$Y_\nu(z)=\frac{J_\nu(z)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(z)}{\sin(\nu\pi)}.\tag{62}$$

当 $\nu\to 0$ 时，直接代进去会变成 $0/0$ 型，所以我们要做极限：

$$Y_0(z) = \lim_{\nu\to 0} Y_\nu(z) = \lim_{\nu\to 0} \frac{J_\nu(z)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(z)}{\sin(\nu\pi)}.\tag{63}$$

小 $\nu$ 展开：

$$\sin(\nu\pi) = \nu\pi + O(\nu^3), \quad \cos(\nu\pi) = 1 - \frac{(\nu\pi)^2}{2} + O(\nu^4).\tag{64}$$

把 $\nu$ 当成一个“参数”，对它在 0 点做泰勒展开：

$$J_\nu(z) = J_0(z) + \nu\left.\frac{\partial J_\nu(z)}{\partial \nu}\right|_{\nu=0} + O(\nu^2),\tag{65}$$

而 $J_{-\nu}$ 用同样的办法：

$$J_{-\nu}(z) = J_0(z) - \nu\left.\frac{\partial J_\nu(z)}{\partial \nu}\right|_{\nu=0} + O(\nu^2),\tag{66}$$

取极限 $\nu\to 0$：

$$Y_0(z) = \lim_{\nu\to 0} Y_\nu(z) = \lim_{\nu\to 0}\frac{2\nu J'_0 + O(\nu^2)}{\nu\pi + O(\nu^3)} = \frac{2}{\pi}J'_0(z).\tag{67}$$

也就是得到了一个很重要的关系：

$$\boxed{ Y_0(z) = \frac{2}{\pi}\left.\frac{\partial J_\nu(z)}{\partial \nu}\right|_{\nu=0}. }\tag{68}$$

到这里为止，我们还没看到 $\ln(z/2)$，它会出现在 $\partial J_\nu/\partial \nu|_{\nu=0}$ 里面。

用幂级数计算贝塞尔函数对阶数的导数

贝塞尔函数的幂级数：

$$J_\nu(z) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)} \left(\frac{z}{2}\right)^{2m+\nu}.\tag{69}$$

把 $(z/2)^{2m+\nu}$ 拆成两部分：

$$\left(\frac{z}{2}\right)^{2m+\nu} = \left(\frac{z}{2}\right)^{2m} \left(\frac{z}{2}\right)^\nu.\tag{70}$$

于是

$$J_\nu(z) = \left(\frac{z}{2}\right)^\nu \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)} \left(\frac{z}{2}\right)^{2m}.\tag{71}$$

记

$$S(\nu) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)} \left(\frac{z}{2}\right)^{2m}.\tag{72}$$

那么

$$J_\nu(z) = \left(\frac{z}{2}\right)^\nu S(\nu).\tag{73}$$

先对前面这坨 $(z/2)^\nu$ 求导

$$\left.\frac{\partial}{\partial \nu} \left(\frac{z}{2}\right)^\nu\right|_{\nu=0} = \left.e^\nu\ln\frac{z}{2}\right|_{\nu=0} =\ln\frac{z}{2}.\tag{74}$$

这意味着

$$\left.\frac{\partial}{\partial \nu} \big[\left(\tfrac{z}{2}\right)^\nu S(\nu)\big]\right|_{\nu=0} = \underbrace{\ln\frac{z}{2}}_{\text{来自幂}} \underbrace{S(0)}_{=J_0(z)} + \underbrace{\left.\frac{\partial S(\nu)}{\partial \nu}\right|_{\nu=0}}_{\text{下面算}} .\tag{75}$$

所以

$$J'_0(z) = \left.\frac{\partial J_\nu(z)}{\partial \nu}\right|_{\nu=0} = J_0(z)\ln\frac{z}{2} + S'(0).\tag{76}$$

现在的重点是 $S'(0)$。

$ν$ 只出现在 $\Gamma(m+\nu+1)$ 里，所以

$$S'(0) = \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \left(\frac{z}{2}\right)^{2m} \frac{1}{m!}\, \left.\frac{\partial}{\partial \nu}\frac{1}{\Gamma(m+\nu+1)}\right|_{\nu=0}.\tag{77}$$

对 $1/\Gamma$ 求导，利用

$$\frac{d}{dx}\frac{1}{\Gamma(x)} = -\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma^2(x)} = -\frac{\psi(x)}{\Gamma(x)},\tag{78}$$

这里 $\psi(x)=\Gamma'(x)/\Gamma(x)$ 是 digamma 函数。令 $x=m+\nu+1$：

$$\left.\frac{\partial}{\partial \nu}\frac{1}{\Gamma(m+\nu+1)}\right|_{\nu=0} = -\frac{\psi(m+1)}{\Gamma(m+1)} = -\frac{\psi(m+1)}{m!}.\tag{79}$$

于是

$$S'(0) = \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \left(\frac{z}{2}\right)^{2m} \frac{1}{m!}\left(-\frac{\psi(m+1)}{m!}\right) = - \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \psi(m+1)\frac{(z/2)^{2m}}{(m!)^2}.\tag{80}$$

有一个重要的恒等式：

$$\psi(m+1) = -\gamma + H_m,\tag{81}$$

其中$\gamma$ 是欧拉常数，$H_m = 1 + \tfrac12 + \cdots + \tfrac{1}{m}$（约定 $H_0=0$）。

代入：

$$S'(0) = - \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m (-\gamma+H_m)\frac{(z/2)^{2m}}{(m!)^2} = \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m (\gamma - H_m)\frac{(z/2)^{2m}}{(m!)^2}.\tag{82}$$

于是

$$\begin{aligned} J'_0(z) &= J_0(z)\ln\frac{z}{2} + S'(0) \\ &= J_0(z)\ln\frac{z}{2} + \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m (\gamma - H_m)\frac{(z/2)^{2m}}{(m!)^2}. \end{aligned}\tag{83}$$

把里面的 $\gamma$ 部分拆出来：

$$\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \gamma\frac{(z/2)^{2m}}{(m!)^2} = \gamma \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \frac{(z/2)^{2m}}{(m!)^2} = \gamma J_0(z),\tag{84}$$

所以

$$\begin{aligned} J'_0(z) &= J_0(z)\ln\frac{z}{2} + \gamma J_0(z) - \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m H_m\frac{(z/2)^{2m}}{(m!)^2} \\ &= J_0(z)\Big(\ln\frac{z}{2}+\gamma\Big) - \sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m H_m\frac{(z/2)^{2m}}{(m!)^2}. \end{aligned}\tag{85}$$

记住 $H_0=0$，所以最后一项从 $m=1$ 起：

$$J'_0(z) = J_0(z)\Big(\ln\frac{z}{2}+\gamma\Big) - \sum_{m=1}^{\infty} (-1)^m H_m\frac{(z/2)^{2m}}{(m!)^2}.\tag{86}$$

因此

$$\begin{aligned} Y_0(z) &= \frac{2}{\pi} \left[ J_0(z)\Big(\ln\frac{z}{2}+\gamma\Big) - \sum_{m=1}^{\infty} (-1)^m H_m\frac{(z/2)^{2m}}{(m!)^2} \right] \\ &= \frac{2}{\pi}\Big(\ln\frac{z}{2}+\gamma\Big)J_0(z) + \frac{2}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty} (-1)^{m+1} H_m\frac{(z/2)^{2m}}{(m!)^2}. \end{aligned}\tag{87}$$

合并零阶第一类汉克尔函数

在格林函数推导里，我们只用到 $z\to 0$ 的主导行为：

• $J_0(z) = 1 + O(z^2)$，
• 级数部分是 $O(z^2)$ 开始的（因为从 $m=1$ 起）。

所以

$$Y_0(z) = \frac{2}{\pi} \Big(\ln\frac{z}{2}+\gamma\Big)\big[1+O(z^2)\big] + O(z^2) = \frac{2}{\pi} \Big(\ln\frac{z}{2}+\gamma\Big) + O(z^2).\tag{88}$$

再和 $J_0(z)\approx 1$ 合起来：

$$H_0^{(1)}(z) = J_0(z) + iY_0(z) \approx 1 + \frac{2i}{\pi} \Big(\ln\frac{z}{2}+\gamma\Big) + O(z^2),\tag{89}$$

关于双伽马函数与重要恒等式

我们用了这个恒等式：

$$\psi(m+1) = -\gamma + H_m,$$

其中

• $\psi(x)=\dfrac{d}{dx}\ln\Gamma(x)=\Gamma'(x)/\Gamma(x)$ 是 双伽马函数（digamma function），
• $\gamma$ 是欧拉常数，
• $H_m = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{m}$ 是 调和级数。

可以使用 递推公式：

$$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x).$$

两边取对数：

$$\ln \Gamma(x+1) = \ln x + \ln\Gamma(x).$$

对 $x$ 微分：

$$\psi(x+1) = \frac{1}{x} + \psi(x).$$

递推展开：

$$\psi(2)=\psi(1)+1,$$

于是一般来说：

$$\psi(m+1)=\psi(1)+\Big(1+\frac12+\cdots+\frac1m\Big) = \psi(1) + H_m.$$

现在只剩下 $\psi(1)$。

注意到欧拉常数的定义，它将调和级数和对数函数联系在了一起

$$\gamma = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac12 +\cdots +\frac1n - \ln n\right).$$

定义 $\psi(1) = -\gamma$，则双伽马函数就能和对数函数联系在一起（$\psi (m\to\infty)=\ln m$）